OBTENER UNA DETERMINANTE DE 3X3 EN 5 LÍNEAS 
Cómo encontrar el determinante de una matriz 3x3
2 partes:Hallar el determinanteHacer el problema más sencillo
El determinante de una matriz suele utilizarse con frecuencia en operaciones de cálculo, álgebra lineal y geometría descriptiva a un nivel más complejo. Fuera del mundo académico, los ingenieros y los programadores gráficos utilizas las matrices y sus determinantes constantemente.[1] Si sabes cómo hallar el determinante de una matriz de 2x2, las únicas herramientas que tendrás que utilizar serán la suma, la resta y la multiplicación.

Hallar el determinante
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 
Escribe la matriz de 3x3. Empezaremos con una matriz de 3x3 llamada A, y trataremos de hallar su determinante |A|. Aquí tienes la notación general de matrices que utilizaremos, y la matriz de ejemplo:
a11         a12         a13                        1             5             3
M           =             a21         a22         a23         =             2             4             7
a31         a32         a33                        4             6             2
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Elige una sola fila o columna. Esta será tu fila o columna de referencia. Obtendrás la misma respuesta, independientemente de la fila o columna que elijas. Por ahora, elige la primera fila. Más adelante, ofreceremos algunos consejos para elegir la opción más adecuada para facilitar el cálculo.
Elijamos la primera fila de nuestra matriz de ejemplo A. Rodea la fila 1 5 3. Utilizando términos generales, rodea la fila a11 a12 a13.
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Tacha la fila y la columna del primer elemento. Observa la fila o la columna que hayas rodeado y localiza el primer elemento. Traza una línea a lo largo de la fila y la columna que incluyan este elemento. Ahora, quedarán cuatro números que podremos tratar como una matriz de 2x2.
En nuestro ejemplo la fila de referencia es 1 5 3. El primer elemento está en la fila 1 y en la columna 1. Tacha toda la fila 1 y la columna 1. Escribe los demás elementos en forma de matriz de 2x2:
 1  5 3
 2  4 7
 4  6 2
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Halla el determinante de la matriz de 2x2. Recuerda que la matriz{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} tiene un determinante de ad - bc.[2] Tal vez hayas aprendido a hacerlo trazando una X sobre la matriz de 2x2. Multiplica los dos números unidos por la línea \ de la X. Después, resta el producto de los dos números unidos por la línea /. Utiliza esta forma para calcular el determinante de la matriz que acabas de hallar.
En nuestro ejemplo, el determinante de la matriz {\displaystyle {\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}} = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.
Este determinante es el menor de los elementos que podemos elegir en la matriz original[3] En este caso, hemos hallado el menor de a11.
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Multiplica el resultado por el elemento elegido. Recuerda que podrás elegir un elemento de la fila o la columna de referencia una vez que hayas decidido qué fila y qué columna tachar. Multiplica este elemento por el determinante que acabas de calcular para la matriz de 2x2.
En nuestro ejemplo, hemos seleccionado a11, que tiene un valor igual a 1. Multiplica este valor por -34 (el determinante de la matriz de 2x2) para obtener 1*-34 = -34.
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 6
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Define el signo del resultado. A continuación, tendrás que multiplicar la respuesta por 1 o por -1 para hallar el adjunto del elemento elegido. La cifra utilizada dependerá del lugar en el que se encuentre el elemento dentro de la matriz de 3x3. Memoriza esta sencilla lista para saber qué signo le corresponde a cada elemento:
+ - +
- + -
+ - +
Dado que hemos elegido el elemento a11, marcado con un signo +, debemos multiplicar el número por +1. En otras palabras: déjalo tal como está. El resultado sigue siendo -34.
Otra opción consiste en hallar el signo con la fórmula (-1)i+j, donde i y j son la fila y la columna del elemento elegido.[4]
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 7
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Repite este proceso con el segundo elemento de tu fila o columna de referencia. Vuelve a la matriz original de 3x3, con la fila o la columna anteriormente rodeada. Repite el mismo proceso con este elemento:
Tacha la fila y la columna en las que se encuentre dicho elemento. En nuestro caso, seleccionamos el elemento a12 (con un valor igual a 5). Tacha la primera fila (1 5 3) y la segunda columna {\displaystyle {\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}}.
Trata los demás elementos como si pertenecieran a una matriz de 2x2. En nuestro ejemplo, la matriz es {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}}
Halla el determinante de esta matriz de 2x2. Utiliza la fórmula de ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
Multiplica el resultado por el elemento elegido de la matriz de 3x3. -24 * 5 = -120
Determina si debes multiplicar el resultado por -1. Utiliza la lista de signos o la fórmula de ij. Nosotros hemos elegido el elemento a12, que coincide con el signo - en la lista. Por lo tanto, debemos cambiar el signo del resultado: (-1)*(-120) = 120.
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 8
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Repite el proceso con el tercer elemento. Tienes que hallar un adjunto más. Calcula i para el tercer término de la fila o columna de referencia. Aquí tienes un resumen rápido del procedimiento que debes seguir para calcular el adjunto de a13 en nuestro ejemplo:
Tacha la fila 1 y la columna 3 para obtener {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}}.
Su determinante es 2*6 - 4*4 = -4.
Multiplica el resultado por el elemento a13: -4 * 3 = -12.
El elemento a13 coincide con el signo + en la lista, por lo que el resultado es -12.
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 9
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Suma los tres resultados. Este es el último paso. Ya tienes los tres adjuntos calculados, uno por cada elemento de una fila o columna. Súmalos y hallarás el determinante de la matriz de 3x3.
En nuestro ejemplo, el determinante es -34 + 120 + -12 = 74.
Parte
2
Hacer el problema más sencillo
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 10
1
Elige como referencia la fila o columna con más ceros. Recuerda que puedes elegir cualquier fila o columna como referencia. Obtendrás el mismo resultado, elijas la fila o columna que elijas. Si eliges una fila o columna con ceros, solo tendrás que calcular el adjunto de las cifras distintas de cero. Aquí tienes el porqué:
Supongamos que eliges la segunda fila, con los elementos a21, a22, y a23. Para resolver este problema, tendremos que operar con dos matrices de 2x2 diferentes. Llamémoslas A21, A22, y A23.
El determinante de la matriz de 3x3 es a21|A21| - a22|A22| + a23|A23|.
Si los términos a22 y a23 son igual a 0, la fórmula se transforma en a21|A21| - 0*|A22| + 0*|A23| = a21|A21| - 0 + 0 = a21|A21|. Ahora solo hay que calcular el adjunto de un elemento.
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 11
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Utiliza la suma de filas para simplificar la matriz. Si tienes los valores de una fila y se los sumas a otra fila distinta, el determinante de la matriz no cambiará. Esto mismo es aplicable a las columnas. Puedes repetir este proceso, o multiplicar los valores por una constante antes de sumar las filas o columnas para obtener el mayor número posible de ceros en la matriz. Este método te ahorrará mucho tiempo.
Por ejemplo, supongamos que tienes una matriz con tres filas: {\displaystyle {\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}}
Para anular el 9 en la posición a11, podemos multiplicar la segunda fila por -3 y sumarle el resultado a la primera. La primera fila ahora será [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
La nueva matriz está compuesta por las filas{\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}}. Intenta utilizar el mismo truco con las columnas para convertir el elemento a12 en 0 también.
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 12
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Aprende el método abreviado para las matrices triangulares. En estos casos concretos, el determinante es, sencillamente, el producto de los elementos que se encuentran en la diagonal principal que va desde a11 (arriba a la izquierda) hasta a33 (abajo a la derecha). Aunque también son matrices de 3x3, las triangulares siguen un patrón especial de valores distintos de 0:[5]
Matriz triangular superior. Todos los elementos distintos de cerco se encuentran en la diagonal principal o por encima de ella. Cualquier elemento que haya por debajo será cero.
Matriz triangular inferior. Todos los elementos distintos de cero están en la diagonal principal o por debajo de ella. Cualquier elemento que haya por encima será cero.
Matriz diagonal. Todos los elementos distintos de cero se encuentran en la diagonal principal, por lo que pertenece a un subconjunto de los dos tipos de matrices triangulares que acabamos de definir.
Consejos
Este método es aplicable a cualquier matriz cuadrada, independientemente de su dimensión. Por ejemplo, si tienes una matriz de 4x4, después de tachar quedará una matriz de 3x3 y podrás utilizar el método descrito en este artículo para hallar el determinante. Sin embargo, ten en cuenta que realizar este método a mano puede ser una tarea bastante engorrosa.

Si todos los elementos de una fila o una columna son 0, el determinante de la matriz es 0.

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