OBTENER UNA DETERMINANTE DE 3X3 EN 5 LÍNEAS
Cómo encontrar el determinante de una matriz 3x3
2 partes:Hallar el determinanteHacer el problema más
sencillo
El determinante de una matriz suele utilizarse con
frecuencia en operaciones de cálculo, álgebra lineal y geometría descriptiva a
un nivel más complejo. Fuera del mundo académico, los ingenieros y los
programadores gráficos utilizas las matrices y sus determinantes constantemente.[1]
Si sabes cómo hallar el determinante de una matriz de 2x2, las únicas
herramientas que tendrás que utilizar serán la suma, la resta y la
multiplicación.
Hallar el determinante
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step
Escribe la matriz de 3x3. Empezaremos con una matriz de 3x3
llamada A, y trataremos de hallar su determinante |A|. Aquí tienes la notación
general de matrices que utilizaremos, y la matriz de ejemplo:
a11 a12 a13 1 5 3
M = a21 a22 a23 = 2 4 7
a31 a32 a33 4 6 2
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 2
2
Elige una sola fila o columna. Esta será tu fila o columna
de referencia. Obtendrás la misma respuesta, independientemente de la fila o
columna que elijas. Por ahora, elige la primera fila. Más adelante, ofreceremos
algunos consejos para elegir la opción más adecuada para facilitar el cálculo.
Elijamos la primera fila de nuestra matriz de ejemplo A.
Rodea la fila 1 5 3. Utilizando términos generales, rodea la fila a11 a12 a13.
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 3
3
Tacha la fila y la columna del primer elemento. Observa la
fila o la columna que hayas rodeado y localiza el primer elemento. Traza una
línea a lo largo de la fila y la columna que incluyan este elemento. Ahora,
quedarán cuatro números que podremos tratar como una matriz de 2x2.
En nuestro ejemplo la fila de referencia es 1 5 3. El primer
elemento está en la fila 1 y en la columna 1. Tacha toda la fila 1 y la columna
1. Escribe los demás elementos en forma de matriz de 2x2:
1 5 3
2 4 7
4 6 2
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 4
4
Halla el determinante de la matriz de 2x2. Recuerda que la
matriz{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}} tiene un
determinante de ad - bc.[2] Tal vez hayas aprendido a hacerlo trazando una X
sobre la matriz de 2x2. Multiplica los dos números unidos por la línea \ de la
X. Después, resta el producto de los dos números unidos por la línea /. Utiliza
esta forma para calcular el determinante de la matriz que acabas de hallar.
En nuestro ejemplo, el determinante de la matriz
{\displaystyle {\begin{pmatrix}4&7\\6&2\end{pmatrix}}} = 4 * 2 - 7 * 6
= -34.
Este determinante es el menor de los elementos que podemos
elegir en la matriz original[3] En este caso, hemos hallado el menor de a11.
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 5
5
Multiplica el resultado por el elemento elegido. Recuerda
que podrás elegir un elemento de la fila o la columna de referencia una vez que
hayas decidido qué fila y qué columna tachar. Multiplica este elemento por el
determinante que acabas de calcular para la matriz de 2x2.
En nuestro ejemplo, hemos seleccionado a11, que tiene un
valor igual a 1. Multiplica este valor por -34 (el determinante de la matriz de
2x2) para obtener 1*-34 = -34.
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 6
6
Define el signo del resultado. A continuación, tendrás que
multiplicar la respuesta por 1 o por -1 para hallar el adjunto del elemento
elegido. La cifra utilizada dependerá del lugar en el que se encuentre el
elemento dentro de la matriz de 3x3. Memoriza esta sencilla lista para saber
qué signo le corresponde a cada elemento:
+ - +
- + -
+ - +
Dado que hemos elegido el elemento a11, marcado con un signo
+, debemos multiplicar el número por +1. En otras palabras: déjalo tal como
está. El resultado sigue siendo -34.
Otra opción consiste en hallar el signo con la fórmula
(-1)i+j, donde i y j son la fila y la columna del elemento elegido.[4]
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 7
7
Repite este proceso con el segundo elemento de tu fila o columna
de referencia. Vuelve a la matriz original de 3x3, con la fila o la columna
anteriormente rodeada. Repite el mismo proceso con este elemento:
Tacha la fila y la columna en las que se encuentre dicho
elemento. En nuestro caso, seleccionamos el elemento a12 (con un valor igual a
5). Tacha la primera fila (1 5 3) y la segunda columna {\displaystyle
{\begin{pmatrix}5\\4\\6\end{pmatrix}}}.
Trata los demás elementos como si pertenecieran a una matriz
de 2x2. En nuestro ejemplo, la matriz es {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&7\\4&2\end{pmatrix}}}
Halla el determinante de esta matriz de 2x2. Utiliza la
fórmula de ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
Multiplica el resultado por el elemento elegido de la matriz
de 3x3. -24 * 5 = -120
Determina si debes multiplicar el resultado por -1. Utiliza
la lista de signos o la fórmula de ij. Nosotros hemos elegido el elemento a12,
que coincide con el signo - en la lista. Por lo tanto, debemos cambiar el signo
del resultado: (-1)*(-120) = 120.
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 8
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Repite el proceso con el tercer elemento. Tienes que hallar
un adjunto más. Calcula i para el tercer término de la fila o columna de
referencia. Aquí tienes un resumen rápido del procedimiento que debes seguir
para calcular el adjunto de a13 en nuestro ejemplo:
Tacha la fila 1 y la columna 3 para obtener {\displaystyle
{\begin{pmatrix}2&4\\4&6\end{pmatrix}}}.
Su determinante es 2*6 - 4*4 = -4.
Multiplica el resultado por el elemento a13: -4 * 3 = -12.
El elemento a13 coincide con el signo + en la lista, por lo
que el resultado es -12.
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 9
9
Suma los tres resultados. Este es el último paso. Ya tienes
los tres adjuntos calculados, uno por cada elemento de una fila o columna.
Súmalos y hallarás el determinante de la matriz de 3x3.
En nuestro ejemplo, el determinante es -34 + 120 + -12 = 74.
Parte
2
Hacer el problema más sencillo
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 10
1
Elige como referencia la fila o columna con más ceros.
Recuerda que puedes elegir cualquier fila o columna como referencia. Obtendrás
el mismo resultado, elijas la fila o columna que elijas. Si eliges una fila o
columna con ceros, solo tendrás que calcular el adjunto de las cifras distintas
de cero. Aquí tienes el porqué:
Supongamos que eliges la segunda fila, con los elementos
a21, a22, y a23. Para resolver este problema, tendremos que operar con dos
matrices de 2x2 diferentes. Llamémoslas A21, A22, y A23.
El determinante de la matriz de 3x3 es a21|A21| - a22|A22| +
a23|A23|.
Si los términos a22 y a23 son igual a 0, la fórmula se
transforma en a21|A21| - 0*|A22| + 0*|A23| = a21|A21| - 0 + 0 = a21|A21|. Ahora
solo hay que calcular el adjunto de un elemento.
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 11
2
Utiliza la suma de filas para simplificar la matriz. Si
tienes los valores de una fila y se los sumas a otra fila distinta, el
determinante de la matriz no cambiará. Esto mismo es aplicable a las columnas.
Puedes repetir este proceso, o multiplicar los valores por una constante antes
de sumar las filas o columnas para obtener el mayor número posible de ceros en
la matriz. Este método te ahorrará mucho tiempo.
Por ejemplo, supongamos que tienes una matriz con tres
filas: {\displaystyle
{\begin{pmatrix}9&-1&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}}
Para anular el 9 en la posición a11, podemos multiplicar la
segunda fila por -3 y sumarle el resultado a la primera. La primera fila ahora
será [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
La nueva matriz está compuesta por las filas{\displaystyle
{\begin{pmatrix}0&-4&2\\3&1&0\\7&5&-2\end{pmatrix}}}.
Intenta utilizar el mismo truco con las columnas para convertir el elemento a12
en 0 también.
Imagen titulada Find the Determinant of a 3X3 Matrix Step 12
3
Aprende el método abreviado para las matrices triangulares.
En estos casos concretos, el determinante es, sencillamente, el producto de los
elementos que se encuentran en la diagonal principal que va desde a11 (arriba a
la izquierda) hasta a33 (abajo a la derecha). Aunque también son matrices de
3x3, las triangulares siguen un patrón especial de valores distintos de 0:[5]
Matriz triangular superior. Todos los elementos distintos de
cerco se encuentran en la diagonal principal o por encima de ella. Cualquier
elemento que haya por debajo será cero.
Matriz triangular inferior. Todos los elementos distintos de
cero están en la diagonal principal o por debajo de ella. Cualquier elemento
que haya por encima será cero.
Matriz diagonal. Todos los elementos distintos de cero se
encuentran en la diagonal principal, por lo que pertenece a un subconjunto de
los dos tipos de matrices triangulares que acabamos de definir.
Consejos
Este método es aplicable a cualquier matriz cuadrada,
independientemente de su dimensión. Por ejemplo, si tienes una matriz de 4x4,
después de tachar quedará una matriz de 3x3 y podrás utilizar el método
descrito en este artículo para hallar el determinante. Sin embargo, ten en
cuenta que realizar este método a mano puede ser una tarea bastante engorrosa.
Si todos los elementos de una fila o una columna son 0, el
determinante de la matriz es 0.
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